De næste simulationer er foretaget med PC-programmet, og er alle med en zoom-værdi, der er over 1.
Hvis man har positivt zoom, kan man i analog VF starte lyset med en lighter, og observere hvordan det forstørres op og fylder hele skærmen ud i et uforudsigeligt mønster. Kan man slet ikke udtale sig om dette mønster på forhånd? Ved et kendskab til den nøjagtige zoom-værdi og vinklen? Det er dette tilfælde jeg vil udforske med de følgende simulationer. Hvis man skal efterligne lyset fra en lighter, må den i første approksimation være lineær. Jeg starter derfor hvert forløb med en lodret "pind" på 11 pixels. Dette startbilledet ligger bag alle de fremkomne mønstre.
Graferne der henvises til, findes bagest i rapporten under Bilag A, B og C.
Vinkler (0
- 175) og Zoom (1.00 - 1.55) (Se bilag A og B):
I den første simulation, ser man den 20. iteration af det samme startbillede, i 2x216 forskellige tilfælde af parameterindstillingen. I øverste venstre hjørne: (v,z)=(0;1.00) ses den lille "pind", som alle billeder har fået som input. Ved at iterere bare 20 gange, får man så mangeartede mønstre frem. Opløsningen af hvert billede, er 43x43 pixels, hvilket hovedsagligt er valgt p.g.a. pladshensynet. Alt hvad der er sort, det er lys med maximumintensitet. Gråtonerne i paletten viser aftagende intensitet - mod hvid. (Var skalaen omvendt ville det kræve urimelig meget farvebånd!)
Det umiddelbare indtryk er, at der hersker symmetri omkring 90 og til en vis grad omkring 45, blot med lidt baggrundsskygge til forskel. Men hvad med detaljerne i billederne, hvad skyldes de?
Jeg kan kun nå at konkludere noget ganske overfladisk, men jeg tror jeg har fat i noget spændende. Mønstrene afhænger med stor følsomhed af vinkel og zoom. Når man passerer visse kritiske værdier, ændrer mønstret fundamentalt karakter. Kritiske begyndelsesbetingelser, ikke i startbilledet, men i de vilkår startbilledet undergår.
For hver 5. grad (0, 5, 10, o.s.v.) er der afbildet 12 felter på række, med hver sin zoom-værdi. Jeg vil beskrive diagrammet rækkevis.
1. række (v=0):
Vi ser først selve startbilledet. Det er klart at det er uændret efter 20 iterationer, når vinklen er 0 og zoom er 1.00. Det samme gælder for det næste billede (til højre for), idet z stadig er for lille til at startbilledet forstørres tilstrækkeligt op. det tredje billede er en linje der går fra top til bund. Startbilledet er blevet trukket ud i vertikal retning (v=0), og sådan fortsætter billederne henad i rækken.
2. række (v=5):
Vi ser igen startbilledet uændret to gange før der sker noget. Ved z=1.10 giver enderne af pinden "lys fra sig" i to trekantede områder, hvor lyset bliver spredt mere og mere efter hver iteration. Billedet er stort set det samme for større z. Der er en lille afvigelse ved z=1.15, hvor lyset holder sig mere koncentreret (det kan skyldes afrundinger i rotationen).
3. række (v=10):
Nu er der allerede gang i den ved første billede p.g.a. den større vinkel. Ved z=1.00 snurrer pinden bare rundt, og sletter de yderste pixels. Ved z=1.05 finder vi det første tegn på spiraldannelse. Fra pindens ender vokser to spiralarme ud, som vikler sig omkring hinanden og fylder feltet helt ud (det kan ses ved større iterationsantal!). De næste billeder viser også spiralarme, men med mindre tydelighed. Ved større z minder det om lysfelterne ved v=5.
4. række (v=15):
Den større vinkel bevirker, at spiralkurverne bliver tættere vundet omkring hinanden. Der er igen en tendens til at armene bliver tynde, før vi får de store jævne lysfelter ved højere z.
5. række (v=20):
Nu skal vi helt op på z=1.20 før der kommer spiralmønstre (nu med ujævne takker på). De holder sig også op til højere z.
6. række (v=25):
Nu ser vi en anden effekt: (spiral-)armene trækker et spor efter sig mens de roterer. Denne opførsel holder sig dog kun op til z=1.20 hvor spiralarmene bliver kraftige igen. Ved højere z sker der kun en variation i spiralernes kanter og bredde (de begynder at minde om Mandelbrotmængdens "dale").
7. række (v=30):
Ved de første 4 billeder kan vi stadig ane pinden i kraftigt forstørret udgave. Den er blevet udtværet og tykkere i enderne. Men ved z=1.20 opstår spontant et indviklet spiralmønster. Ved z=1.25 er vi tilbage i de velkendte spiralarme med takker på, selvom de ved høje zoom-værdier (z=1.50) bliver mere fraktale end vi havde nogen forventning om.
Hvad skete der ved z=1.20? Denne pludselige ændring mellem roterende bjælker og indviklede spiralmønstre blot ved at ændre zoom med 5 8. række (v=35):
Her kan vi følge spiralkurverne gå over i hinanden næsten hele vejen. Kun ved z=1.45 sker der noget mærkeligt: Takkerne forsvinder næsten fra spiralkanterne.
9. række (v=40):
Her finder vi i starten nogle "snurrende bølger", som lidt efter lidt, flyder ud, men spiralerne kommer pludseligt ved z=1.30. De ændrer også karakter, og ved z=1.55 går billedet helt i sort. (Pinden bliver forstørret til hele skærmen)
10. række (v=45):
Her er kun ganske få foretrukne retninger, lyset kan bevæge sig i, så billederne bliver helt symmetriske, men vokser med z. Ved z=1.45 vokser startbilledet igen ud over det hele.
For vinkler over 45 gentager mønstrene sig i det store og hele, blot med lidt skygger på, og over 90 gentager det sig identisk, men spejlvendt.
Det samme må man forvente over 180. Det afhænger bl.a. af symmetrien i startbilledet.
Der var et ubesvaret spørgsmål ved overgangen z=1.20 og v=30. Den store ændring, må kunne brydes ned i mindre ændringer, hvis man zoom'er ind i parameterrummet (ligesom i Mandelbrotmængden). Det har jeg gjort i den næste simulation.
Vinkler (26 - 34) og Zoom (1.14 - 1.25) (Se bilag C):
Her genfinder vi nogle af billederne fra før, specielt den spontane overgang i rækken med v=30. Nu er der imidlertid indskudt en serie på tre spiralmønstre (fra z=1.16 til z=1.18) før vi får noget der ligner "synderen" fra før ved z=1.20.
Man kunne således blive ved med at zoom'e ind i parameterrummet for at finde nye kritiske værdier af z og v, og finde dem med flere decimaler.
Jeg bliver nødt til, at slutte undersøgelserne her, men jeg vil vove en konkluderende slutbemærkning om hvad det er vi kigger på her.
Det er støj vi kigger på - forstærket op til fantasifulde mønstre.
Afrundingen af de pixels, som befinder sig i centrum, afgør billedets form. En lille tilfældig lysvariation i centrum forstærkes op og danner et helt billede forudbestemt af parameterindstillingen.
Med den interaktive simulator kan jeg skabe de samme mønstre, da det er de samme formler og parametre der er sat. Men her har jeg mulighed for at tilføje støj: En masse tilfældige prikker tegnes henover billedet. Kort tid efter er forstyrrelsen absorberet. Der er intet spor af den tilfældige påvirkning. Billedet er faldet til ro i sit forudbestemte mønster. Kun engang imellem, ændres billedet radikalt. Af to spiralarme kan den ene blive slukket, eller få ændret sin intensitet. Det er når der rammer en tilfældig prik inde i centrum af billedet. Her kan støjen forstærkes op som når man starter med blank skærm og et nyt startbillede.
Test Mere beskrivelse