Simulation: Punktlyskilde med varierende vinkel og fast zoom

Disse simulationer foregår ved zoom mindre end 1. Ved at efterligne en fast punktlyskilde rettet mod toppen af billedet, vandrer lyset - afhængig af parametrene - ind mod billedets centrum, der fungerer som punktattraktor. I centrum vil lyset holde sig stabilt, og uden sporet af lyset på vej ind, ville det være ret kedeligt. Det er imidlertid dette spor der bevares p.g.a. eftergløden, og den konstante lyskilde. Resultatet er, som vi skal se, en forholdsvis stor variation af mønstre, som let kan forstås ved symmetribetragtninger og forhold mellem vinkler. Ved det lave zoom (z<1), trækkes lyspletten for hver iteration, et stykke ind mod centrum, idet hele billedet bliver nogle procent mindre end det foregående. Vi husker spiralløsningen!

Iterationer og zoom: Ved en konstant vinkel: v=60$^{\circ}$ og forskellige værdier af zoom, følges udviklingen efter 10, 25, 50, 75 og 150 iterationer. Til sidst har lyset udfyldt det område, som forbliver uændret ved yderligere iterationer. Se figur 9. Jeg vurderer at en z-værdi på 0,96 er passende, til de videre forløb. For at undersøge vinkelafhængigheden, holder jeg derfor z fast og iterer et antal gange indtil billedet har stabiliseret sig. Dette er tilfældet ved n=100.

Vinkelundersøgelse: Det er for plads- og tidskrævende at dække alle vinkler 360$^{\circ}$ rundt. Jeg vælger at ændre vinklen med 5$^{\circ}$ ad gangen. Da alle mønstrene desuden gentager sig spejlvendt når man roterer med vinkler større end 180$^{\circ}$ (f.eks.: 190$^{\circ}$ $\leftrightarrow$ 170$^{\circ}$ og 270$^{\circ}$ $\leftrightarrow$ 90$^{\circ}$), bliver der kun 36 forskellige plots i figuren (der er plads til 40, så man kan se de første spejlvendte kopier). Se i øvrigt programudskriften i appendix A, som laver den øverste halvdel af figur 10 på 15-20 minutter.

Vinkler og symmetrier: Ved de små vinkler følger pletten en pæn spiralkurve ind mod centrum. På vej ind mod midten flyder punkterne sammen til en sammenhængende kurve, og helt inde mod midten spredes lyset yderligere, så den skarpe kurve flyder ud. Lyset vil, når det befinder sig i centrum, ikke flytte sig mere, da det kun vil blive drejet rundt om sig selv.

Så langt rækker beskrivelsen med diskrete parameterkurver. Ved større vinkler, er denne beskrivelse helt utilstrækkelig. Her flyder punkterne sammen i radiel retning i.s.f. angulær retning - langs med parameterkurven. Øjet finder nye linier og forbinder punkter på samme radius. Det betyder, at der vokser et antal "arme" ind mod centrum, indtil disse flyder helt sammen og "stråler" ud fra centrum.

Ved større vinkler (over ca. 30$^{\circ}$) bliver punkterne altså afsat så langt fra hinanden på parameterkurven, at den mindste afstand er ind til den næste vinding i spiralen. Det er således helt andre kendetegn, som får betydning for mønstret, nemlig antallet af arme der går ud fra centrum, og deres afbøjning. Man bemærker, at armene bliver rette når vinklen går et helt antal gange op i 360$^{\circ}$. Man finder f.eks. en 5-foldssymmetri ved 72$^{\circ}$ og en 6-foldssymmetri ved 60$^{\circ}$. Således kan n-foldssymmetrier findes ved 360$^{\circ}$/n. Disse vinkler behøver ikke at være heltallige, man kunne ligesågodt regne i radianer eller et andet gradsystem hvor hele grader ikke er noget unikt. Det, der er væsentligt er, at vinklen står i et rationelt forhold til 360$^{\circ}$ (eller 2$\pi$). De tal der ikke går op i 360 vil danne bøjede arme i stedet for rette. Symmetrien er dog ikke 100$\%$ idet armene ikke er præcis lige lange. Den længste arm er den øverste, som er det punkt der starter det hele. Leder man efter n-foldssymmetrier med meget stort n, skal man også ændre zoom, så den ligger tættere på 1.

Alt dette, som simulationerne viser, har jeg efterprøvet, og fundet i rigtige VF-eksperimenter - se figur 11. Som punktlyskilde benyttede jeg en diodelaser af typen Spindler Hoyer (tilsluttet et 4,5V batteri) udlånt af Ørsted Laboratoriet. Med denne fine overensstemmelse mellem eksperiment og model, kan vi gå videre til de mere spændende billeder.