Diskussion af modellen - løsninger?

Dette er en temmelig omfattende og grundig model af videofeedback, der dog stadig er overskuelig, og man vil derfor forvente at den har systemets væsentligste træk med. Men den originale model har også nogle overflødige detaljer med, som jeg helt har udeladt. F.eks. en parameter, der kan invertere intensiteten. Den er kun relevant ved brug af en speciel monitor der viser s/h billeder i negativ. En anden parameter f/stop er også udeladt, og jeg har desuden omdøbt rotationsvinklen og zoomparameteren (fra $\phi$ til v og fra b til z).

Der er nogle teoretiske og praktiske forhold ved modellen som jeg vil fremhæve inden implementationen. For det første kan man diskutere om modellen er lineær eller ikke. For det andet skal man tilføje en beskrivelse af ydre parametre såsom monitorens brightness- og kontrastkontrol, der kan være apparatafhængige. Der skal være en funktion der begrænser intensiteten indenfor et maximum-niveau. Hvordan den nøjagtige kontrastfunktion og brightness-skalering kan foregå vil også blive diskuteret.

Man kan nu spørge sig selv: Er modellen lineær? Hvad skal der til for at den er lineær, og kan den overhovedet løses med konventionelle metoder? Vælger man at regne analytisk på modellen og se på, om dens forudsigelser (løsninger af typen funktioner i 2 variable) stemmer med tilsvarende eksperimenter, har man nok valgt den hårdeste vej. Det er heller ikke målet med dette projekt, men det er alligevel vigtigt at gøre sig klart om hvorvidt modellen er lineær eller ej, inden man implementerer modellen. Definerer vi en funktion i to variable (dimensionerne x og y): f_n(x,y) fastlægger Crutchfields model det følgende billede ved transformationen T. T inkluderer her både zoom og rotation (repræsenteret ved R) og efterglød (repræsenteret ved L). Her vil jeg imidlertid se bort fra den gaussiske spredning af lyset, den er endnu for vanskelig at regne på. Vi forestiller os altså et system, hvor lyset holdes intenst fokuseret. Transformationen er herefter:

$$f_{n} = \sum_{i=0}^{n} f_{n-i}(x,y)L^i + f_{n}(R(x,y))$$ (7)

Nu antager vi at intensiteten i et punkt I_n(x,y) opfører sig lineært. Det er her det springende punkt ligger. For at intensiteten i et givet punkt altid opfører sig lineært må man antage at der ikke er noget maximumniveau, der skal overholdes. Det vil der imidlertid altid være i praksis. Mætningen af monitorskærmen eller kameradetektoren, vil bevirke, at intensiteten afskæres ved en bestemt værdi. I det følgende betragtes modellen uden dette fysiske bånd.

For at afbildningen $T: R^2 \rightarrow R^2$ er lineær, skal to vilkårlige (start)billeder f_n og g_n opfylde de to linearitetsbetingelser. Hvor T står for transformationen under én iteration. T opdeles i R og L. For to vilkårlige (start)billeder f_n og g_n gælder således ifølge definitionerne:

Den første linearitetsbetingelse er opfyldt, idet:

Den anden betingelse er ligeledes opfyldt for f_n (og tilsvarende for g_n):

Da disse to betingelser er opfyldt for hver iteration, kan man ved induktion efter n bevise at denne begrænsede model er lineær for vilkårligt n.

Til trods for at systemet er lineært et langt stykke henad vejen, kan det være vanskeligt at finde analytiske løsninger - fixpunkter og n-cykler, p.g.a. at funktionerne er i to variable. Jeg mener heller ikke antagelserne er rimelige nok til, at fortsætte ad den analytiske vej. Formålet med dette projekt er også at simulere VF v.h.a. modellen. Jeg vil derfor begrænse mig til at følge ét enkelt punkts bevægelse under transformationen.

Et punkts bevægelse: Det væsentligste led for bevægelse er det tredje led (rotation og zoom) i formel (6). Det første led (efterglød) giver ikke anledning til bevægelse, men fastholder til gengæld den gamle position. Det andet led (diffusion) vil blot udtvære lyset under bevægelsen. Løsningen til bevægelsen kan derfor som approksimation findes ved det tredje led og bliver den velkendte logaritmiske spiral som har parameterudtrykket (jeg bruger her z for zoom-værdien):

$$p(t)=(x(t),y(t)) = \Bigg\{ {z^{t}\cos vt \atop z^{t}\sin vt}$$

Punktet bevæger sig rundt på en diskret parameterkurve oveni den kontinuerte parameterkurve p(t). Med diskret menes, at for hvert (heltallig) t, springer argumentet af funktionen med vinklen v (som f.eks. kan have størrelsen 30$^{\circ}$ eller $\pi/6$). Samtidig ændres radius af cirkelbevægelsen hvis zoom er forskellig fra 1. Ved lavt zoom (z < 1) mindskes radius for hver iteration med faktoren z. Tilsvarende øges radius ved z > 1. Det vil sige, at mange løsninger kan findes ved spiralkurver (og superpositioner af disse). Det kan nemt blive meget kompliceret.

Ved en yderligere analytisk løsning af formel (6) går man efter tre hovedtyper af opførsel:

Fixpunkter: Et fixpunkt (eller et fixpunktsbillede I_n^* er et punkt i faserummet, der ved en iteration går over i sig selv. Det udtrykker med andre ord stabilitet. Man kan lede efter denne type løsninger ved at betragte tilfældet:

$$I_{n+1} =T \cdot I_{n}(\vec x)^*=I_{n}(\vec x)^*.$$ (8)

Grænsecykler: En p-grænsecykel er en serie af p punkter, der gennemløbes før de starter forfra, der er én iteration mellem hvert punkt. Denne type løsninger skal for vilkårligt n opfylde:

$$I_{n+p} =T^p \cdot I_{n}(\vec x)=I_{n}(\vec x).$$ (9)

Kaotiske attraktorer: Disse optræder kun i ikke-lineære afbildninger, så de skal findes i en udvidet og mere grundig teoretisk behandling. Så langt kan dette system nok ikke forstås teoretisk i alle detaljer.

Transienter: Disse regnes sjældent med som egentlige løsninger. De betegner "tilpasningen" til en given løsning. Antager man, at der for enhver indstilling af parametrene eksisterer en løsning, som lyset vil falde hen imod, vil denne løsning (stabil eller periodisk) kunne opnås gennem mange transienter. Ofte skærer man hele transienten bort, for at studere den stabiliserede opførsel, da man har mere styr på denne. I mange tilfælde kan transienten henimod et kedeligt stabilt fixpunkt, være meget mere interessant når det gælder VF. Transienter er sværere at få hold på, da de ikke kan gentages eksakt. Det er som sagt endnu for vanskeligt, at finde eksakte løsninger til modellen, så en måde at lære modellen at kende på, er ved at lave numeriske beregninger v.h.a. modellen, og derved simulere VF. Men inden da, skal vi diskutere nogle parametre, der kan volde problemer ved implementationen.